دانلود مقاله احتمال و احتمال شرطی

اختصاصی از زد فایل دانلود مقاله احتمال و احتمال شرطی دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .

احتمال و احتمال شرطی

این مقاله دارای تصاویر و فرمول است که در سایت قابل نمایش نیست
مدل احتمال شرطی
اگر A و B دو پیشامد از فضای نمونه ای S باشند و ، و بدانیم آگاهی از رخداد حتمی پیشامد B در مقدار احتمال سایر پیشامدها اثر می گذارد، احتمال پیشامد A به شرط این که پیشامد B رخ دهد به صورت زیر تعریف می شود:

قاعده ضرب احتمال

این رابطه به قاعده ضرب احتمال موسوم است. به کمک این قاعده می توان احتمال رخداد هم زمان دو پیشامد را تعیین کرد.
استقلال دو پیشامد
اگر آگاهی از رخداد پیشامد B در احتمال رخداد پیشامد A مؤثر نباشد، A را مستقل از B میگویند. پس:

احتمال تجربی
مجموعه ی همه ی نتایج ممکن در یک آزمایش تصادفی، فضای نمونه ای نامیده می شود.
نسبت «رو» هایی که در آزمایش پرتاب سکه به دست آمد، همان فراوانی نسبی است.
اگر داده های حاصل از آزمایش در محاسبه ی احتمال مورد استفاده قرار گیرد به احتمال تجربی یا تخمین احتمال گویند.

مثال: از 50 بار پرتاب یک سکه 30 بار رو ظاهر شده است تخمین احتمال رو آمدن سکه کدام است؟

به احتمال هایی که در آن پیشامدها به طور ایده آل رخ می دهند و داده های حاصل از آزمایش در آن نقشی ندارند احتمال نظری گفته می شود و در این حالت نتایج آزمایش هم شانس هستند.

مثال: در پرتاب یک تاس احتمال آمدن عدد بزرگتر از 4 کدام است؟

توضیح بهتر اینکه:‌احتمال نظری به احتمالهایی گفته می شود که به کمک آنچه که به طور ایده آل باید رخ دهد تعیین می گردند و داده های حاصل از آزمایش در آن نقشی نداشته باشند. برای مثال در پرتاب یک سکه فضای نمونه به صورت {پ و ر}=S می باشد که احتمال «رو» آمدن سکه و احتمال «پشت» آمدن سکه نیز است. این دو عدد احتمال نظری می باشند.
همچنین در پرتاب یک تاس فضای نمونه به صورت {6و5و4و3و2و1}=S می باشد که احتمال آمدن عدد3، می باشد، که این عدد احتمال نظری ظاهر شدن عدد3 می باشد.
احتمال تجربی: اگر یک سکه سالم را 100 بار پرتاب کنیم و از این 100 بار 55 بار «رو» ظاهر شود کسر را احتمال تجربی (تخمین احتمال) رو آمدن در این 100 بار آزمایش می گوییم همچنین اگر یک تاس را 30 بار پرتاب کنیم و 5 بار عدد 2 ظاهر شده باشد کسر را احتمال تجربی ظاهر شدن عدد 2 در این 30 بار آزمایش می گوییم

ظهور احتمال
اما ظهور احتمال به صورت یک نظریه ریاضی نسبتاً جدید است.
مصریان قدیم در حدود ۳۵۰۰ سال قبل از میلاد برای بازی از چیزی که امروزه آن را "قاپ" می‌نامند و شیئی استخوانی شبیه تاس چهار وجهی است استفاده می‌کردندکه در استخوان زانوی پای بعضی از حیوانات وجود دارد.
تاس شش وجهی معمولی در حدود سالهای ۱۶۰۰ بعد از میلاد ساخته شد و از آن به بعد در تمام انواع بازیها ابزار اصلی بوده است.
بدیهی است که ضمن انجام بازیهای تصادفی ،بازیکنان این بازیهادرباره فراوانی وقوع پیشامدهای معین و درباره احتمال آنها ایده‌های شهودی به دست آوردند اما تعجب اینکه تا قرن پانزدهم هیچگونه بررسی علمی در مورد پیشامدهای تصادفی انجام نشد.
گذر از احتمال کلاسیک
اوایل تئوری احتمالات به یک تعداد متناهی از نتایج یک امتحان دو شقی محدود شده بود.قانون محاسبه احتمال،در اصل بسیار ساده بود:
یک پیشامد مرکب،تعدادی پیشامد اولیه را شامل میشود.احتمال آن پیشامد مرکب برابر است با حاصل جمع احتمالات آن پیشامدهای اولیه.برای تعیین احتمالهای پیشامدهای مرکب،پیشامدهای اولیه باید احتمالهایی داشته باشند.طرح های تخمینی بر اساس پیشامدهای اولیه متقارن بنیان نهاده شده بودند.در نتیجه اگر تعداد پیشامدهای اولیه m بود،تقارن نتایج یک بازی به معنی زیبا بودن آن بازی بود.
محاسبات کلاسیک احتمالات که بسیار محدود بودند،بر پایهء تفسیر کلاسیک احتمال انجام میشدند.
تعبیر امواج دوبروی با نظریه احتمال
بر اساس اصل عدم قطعیت هایزنبرگ در مکانیک کوانتومی نمی‌توان در مورد پدیده‌ها با قطعیت کامل اظهار نظر نمود و لذا نتیجه ‌اندازه گیری‌ها و آزمایش‌های مختلف بوسیله نظریه احتمال تعبیر می‌شود. از جمله مفاهیمی ‌که در تعبیر و توصیف آنها از نظریه ‌احتمال استفاده می‌شود، تعبیر امواج دوبروی می‌باشد. امواجی که به ذرات مادی نسبت داده می‌شود.
تعبیر طبیعت موجی ذرات مادی برحسب احتمالات ، نخستین بار در سال 1926 توسط ماکس بورن ارائه شد. آن شاخه ‌از فیزیک کوانتومی‌ که مسئله یافتن مقادیر توابع موجی را بررسی می‌کند، مکانیک موجی یا مکانیک کوانتومی ‌نام دارد. مبتکران اصلی مکانیک موجی ذرات اروین شرودینگر و ورنر هایزنبرگ بودند که به‌صورت مستقل مکانیک کوانتومی ‌را با صورتهای ریاضی مختلف ، ولی هم‌ارز ، فرمول‌بندی کردند.
ارتباط مدل موجی و ذره‌ای بوسیله نظریه ‌احتمال
از الکترومغناطیس می‌دانیم که میدان موج وابسته به یک فوتون میدان الکترومغناطیسی است. تابش الکترومغناطیسی در بعضی موارد با استفاده‌ از مدل ذره‌ای و در موارد دیگر به کمک مدل موجی توصیف می‌شود. شدت تابش ، کمیتی است که در هر دو مدل به یک معنی است.با این تفاوت که در مدل ذره‌ای ، شدت تابش با تعداد فوتونها متناسب است، ولی در مدل موجی شدت تابش با مجذور میدان الکتریکی متناسب می‌باشد. از طرف دیگر ، احتمال مشاهده هر فوتون در هر نقطه با تعداد فوتونهایی که به‌ آن نقطه می‌رسند، متناسب است. چون اگر فوتونی در آن نقطه وجود نداشته باشد، در این صورت احتمال وجود فوتون صفر خواهد بود.
بنابراین با استفاده ‌از تعریف ارائه شده برای شدت در هر دو مدل موجی و ذره‌ای ، می‌توان چنین نتیجه گرفت که ‌احتمال مشاهده یک فوتون در هر نقطه ‌از فضا با مجذور شدت میدان الکتریکی در آن نقطه متناسب است. به بیان دیگر ، از دیدگاه نظریه کوانتومی‌ ، میدان الکتریکی نه تنها کمیتی است که نیروی الکتریکی به‌ازای واحد بار را بدست می‌دهد، بلکه کمیت تابعی است که مجذور آن احتمال مشاهده یک فوتون را در هر مکان مفروض بدست می‌دهد. هرچند نظریه ‌الکترومغناطیس کلاسیک قادر به توصیف خصوصیات دقیقا کوانتومی‌ تابش الکترومغناطیسی نیست، ولی قادر است با محاسبه مجذور میدان الکتریکی احتمال مشاهده فوتون‌ها را بدست دهد.
معرفی تابع احتمال
مفهوم طبیعت موجی یک ذره مادی مانند الکترون را می‌توان به ‌این صورت تشریح کرد که رابطه بین احتمال مشاهده یک ذره و مجذور دامنه موج آن دقیقا همان رابطه بین احتمال مشاهده یک فوتون با جرم سکون صفر و مجذور دامنه موج آن (که همان میدان الکتریکی است) می‌باشد. در مکانیک کوانتومی دامنه موج وابسته به یک ذره همان تابع موجی است که بر اساس رابطه دوبروی به یک ذره نسبت داده می‌شود. در مکانیک کوانتومی (یا مدل ذره‌ای) احتمال مشاهده یک ذره مادی به‌صورت مجذور تابع موج تعریف می‌شود.
بنابراین ، اگر تابع موج را با ψ نشان دهیم، در این صورت احتمال اینکه ذره در یک فاصله مفروض بین x و x + dx مشاهده شود، با ψ(x)|2dx| برابر خواهد بود. از طرف دیگر می‌دانیم که میدان الکتریکی ، در حالت کلی تابعی از مکان و زمان می‌باشد. بنابراین باید تابع موج و به تبع آن تابع احتمال نیز تابعی از مکان و زمان باشند. تعیین مکان مخصوص یک فوتون در یک زمان خاص با قطعیت کامل ، غیر ممکن است، اما تعیین احتمال مشاهده آن به کمک مجذور میدان الکتریکی امکان‌پذیر است. بطور مشابه ، تعیین مکان مخصوص یک ذره در یک زمان ویژه با قطعیت کامل غیرممکن بوده ولی تعیین احتمال مشاهده آن به کمک مجذور تابع موج ممکن است.
خصوصیات تابع احتمال
• تابع احتمال یک کمیت حقیقی است، چون به صورت مجذور تابع موج تعریف می‌شود و مجذور یک کمیت باید حقیقی باشد، هرچند خود آن کمیت مختلط باشد.
• تابع احتمال همواره مقداری بین صفر و یک دارد که یک ، بیشینه مقدار آن و صفر ، کمترین مقدار تابع احتمال است.

توزیع دو جمله ای
امتحان های تکراری نقش بسیار مهمی در آمار و احتمال بازی می کنند خصوصا" وقتی تعداد امتحان ها ثابت و پارامتر (احتمال پیروزی) برای تمام امتحان ها برابر و امتحان ها همگی مستقل باشند.
به منظور تهیه فرمولی برای احتمال به دست آوردن " پیروزی در امتحان " تحت شرایطی که بیان شد ملاحضه کنید که احتمال به دست آوردن پیروزی و شکست در یک ترتیب مشخص برابر است. برای هر پیروزی یک عامل و برای هر شکست یک عامل وجود دارد و بنا بر فرض استقلال عامل و عامل در یکدیگر ضرب می شوند. چون این احتمال با هر دنباله ای از امتحان که در آن پیروزی و شکست وجود دارد همراه است تنها باید تعداد دنباله هایی از این نوع را بشماریم و سپس را در این تعداد ضرب کنیم.روشن است تعداد راه هایی که می توانیم امتحان را که برآمد همه آنها پیروزی است انتخاب کنیم برابر است با و نتیجه می شود که احتمال مطلوب برای " پیروزی در امتحان " برابر است.

تعریف
متغیر تصادفی توزیع دوجمله ای دارد و به آن عنوان متغیر تصادفی دو جمله ای داده می شود اگر و تنها اگر توزیع احتمال آن به صورت زیر باشد:

قضیه(1)

قضیه(2)
میانگین و واریانس توزیع دو جمله ای برابرند با :

قضیه(3)
اکر توزیع دو جمله ای با پارامترهای باشد و آنکاه:

قضیه(4)
تابع مولد گشتاور توزیع دوجمله ای به صورت است.
نکته : اگر امین پیروزی در امین امتحان رخ دهد باید پیروزی در اولین امتحان وجود داشته باشد و احتمال این پیشامد عبارت است از :

احتمال یک پیروزی در امین امتحان برابر است با و بنا براین احتمال آن که امین پیروزی در امین احتمال رخ دهد برابر است با:

توزیع دوجمله ای منفی
متغیرتصادفی توزیع دوجمله ای منفی دارد و به آن عنوان متغیر تصادفی دوجمله ای منفی داده می شود اکر و تنها اگر توزیع احتمالش به ازای به صورت زیر باشد:

قضیه(5)(
قضیه(6) میانگین و واریانس توزیع دوجمله ای منفی عبارتند از :

جمع احتمالها
جمع احتمالها
(منظور از «برآمد» در جملات زیر همان «پیشامد» است)
آزمایش پرتاب یک تاس را در نظر بگیرید. شش برآمد هم شانس 1، 6،5،4،3،2 برای این آزمایش وجود دارد، یعنی فضای نمون ای 6 عضو دارد. پیشامدهای زیر را تعریف می کنیم:
A: آمدن عدد 2
B: آمدن عدد 6
C: آمدن عدد زوج
D:آمدن عدد کوچکتر از 4
هر کدام از این پیشامدها مجموعه ای از یک یا چند برآمد هستند. در واقع

چون پیشامدها زیر مجموعه های فضای نمونه ای هستند، پس فضای نمونه ای مجموعه مرجع این پیشامدها است. به روش نمودار ون، فضای نمونه ای S را به صورت یک مستطیل بزرگ و پیشامدها را به صورت شکلهایی در داخل آن نشان می دهیم. پیشامدهای D,C در نمودار زیر نشان داده شده اند:
چون شش برآمد هم شانس وجود دارد، . در پیشامد «آمدن یک 2 یا یک 6» دو برآمد وجود دارد:

در این مثال می بینیم که

آیا این رابطه برای هر دو پیشامد دلخواه برقرار است؟‌
پیشامدهای D,C در بالا را در نظر بگیرید. پیشامد «C یا D» یعنی شامل همه برآمدهای موجود در C یا D یا هر دوی آنها است، یعنی
(آمدن عدد زوج یا عددی کمتر از 4 ) p =
(آمدن 6،4،2 یا آمدن 3،2،1)P=
بنابراین، در هر برآمدی به جز 5 وجود دارد. از این رو دقیقاً 5 برآمد مجزّا وجود دارند که این پیشامد را تشکیل می دهند، زیرا در تعیین تعداد اعضای یک مجموعه، اعضای تکراری را فقط یکبار می شماریم، بنابراین

از طرف دیگر مشاهده می کنیم که که برابر است با . پس در این مثال، . علت این هماهنگی را بررسی می کنیم:
در پیشامد 3C برآمد و در پیشامد D نیز 3 برآمد وجود دارند ولی در
، 5 برآمد وجود دارند. برآمد 2 هم در C است و هم در D، ولی باید دقت کنیم که هر برآمد را دقیقاً یک بار بشماریم. هنگام محاسبه ، این برآمد را دو بار به حساب می آوریم پس باید یک بار آن را کم کنیم یعنی باید احتمال پیشامد «D,C» یا را از مجموع فوق کم کنیم، به این ترتیب

این با نتیجه ای که قبلاً برای به دست آوریم هماهنگی دارد. این مطلب ما را به قانون جمع احتمالها هدایت می کند یعنی برای دو پیشامد D,C

این رابطه برای پیشامدهای B,A در بالا نیز برقرار است زیرا B,A هیچ گاه همزمان رخ نمی دهند، یعنی رخ دادن پیشامد غیر ممکن است. چون احتمال رخ دادن پیشامدهای غیر ممکن صفر است، پس و

نظریه احتمالات
نظریه احتمالات مطالعه رویدادهای احتمالی از دیدگاه ریاضیات است.

فرمت این مقاله به صورت Word و با قابلیت ویرایش میباشد

تعداد صفحات این مقاله  28  صفحه

پس از پرداخت ، میتوانید مقاله را به صورت انلاین دانلود کنید