این مقاله دارای شکل ها و فرمول های زیادی است که در سایت قابل نمایش نیست
آنالیز فوریه
تابع f(x) را تابع متناوب یا دوره ای می گوئیم (Periodic foretion) هرگاه عددی مثل 2L پیدا شود به قسمی که داشته باشیم f(x) = f(x + 2L)
2L f(x) = f(x + 2L)
2L = 2x Exampel : Sin x , Cos x
2L = x Exampel : tog x , Cot x
اگر توابعی متناوب باشند ولی Sin x و Cos x نیستند با استفاده از سری فوریه این توابع متناوب غیر سینوسی و غیر کسینوسی را بر حسب توابع سینوسی و کسینوسی به دست می آوریم . به عنوان مثال :
Sin x dx = Sin x dx = 0
Cos x dx = 2 Cos x dx =0
Sin mx . Cos nx dx = m, n به ازای هر
Sin mx . Sin nx dx =
Cos mx . Cos nx dx =
نکته : حاصلضرب هر عدد طبیعی 2L می شود دوره تناوب آن تابع
2L n(2L)
f(x) = Sinx Sinx = Sin(x + 2 ) = Sin(x + 2n )
به ازای n = 1 دوره به دست آمده را دوره تناوب اصلی یا اساسی می گویند .
Sin mx دوره تناوب :
Sin 2Lx دوره تناوب :
X(- , ) t = ( - L , L)
Sin x Sin x dx
Sin x . Sin x dx =
c هر عدد حقیقی می تواند باشد ولی برای سادگی c را برابر صفر یا -L در نظر می گیریم .
جای تذکر این است که جواب مسئله نصف دوره تناوب است در این جا 2L است, نصف آن L است و در مواردی نیز یعنی در سینوس و کسینوس 2 بوده که نصف آن می باشد .
Cos x . Cos x dx =
Sin x . Cos x dx = 0
= v1 I + v2 j + v3 k = u1 I + u2 j + u3 k
. = Cos . = u1v1 + u2 v2 + u3 v3
. =
اگر بردار v بر بردار u عمود باشد مقدار صفر است یا تعبیر هندسی این که v بر u عمود است یا تصویر v بر بردار u یک نقطه است .
u v . = 0
u . u = 2 =
Sin nx , Cos mx Sin ix . Cos jx (x) = n
1 =
2 =
(x) . (x) dx = 0
این مجموعه توابع متعامد هستند
(x) dx = N نرم تابع
برای به دست آوردن بردار یکه توابع 1 , 2 داریم :
orthonomal مجموعه توابع یکه
به عنوان مثال مجموعه توابع یکه Sin x عبارتند از :
I و j و k را می توان پایه های یک مختصات سه بعدی هستند بردارهای یکه I و j و k مستقل از هم هستند یعنی نمی توان بر حسب همدیگر به دست آورد, به عبارتی یکی را نمی توان بر حسب دیگری محاسبه نمود و به دست آورد .
نسبت مقدار تابع (مقدار ثابت), پس استقلال خطی دارد یعنی نمی توان پایه های مختصات یک دستگاه در نظر گرفت .
f(x) = + (an Cos x + bn Sin x )
رابطه بالا سری فوریه تابع f(x) نامیده می شود .
ضرایب اولیه فوریه :
A0 = f(x) dx = f(x) dx
An = f(x) Cos x dx = f(x) Cos x dx
Bn = f(x) Sin x dx = f(x) Sin x dx
f(x) = + (an Cos x + bn Sin x )
f(x) = + a1 Cos x + a2 Cos x + …… + an Cos x + …… + b1 Sin x
+ b2 Sin x + b3 Sin x + …….. + bn x + ……
از طرفین انتگرال می گیریم .
الف : f(x) dx = dx + a1 Cos x dx + a2 Cos x dx
+ …… + an Cos xdx + ……+ b1 Sin x dx
+ ……. + b2 Sin x dx + ……. + bn Sin x dx
+ …….
f (x) dx = x = = . 2L = La0
a0 = f (x) dx
a0 دو برابر مقدار میانگین تابع f (x) از بازه -L تا L تابع می باشد .
F (x) = f (x) dx
طرفین رابطه را در x Cos ضرب می کنیم :
f(x) Cos x dx = Cos x dx + a1 Cos x Cos x dx
+ a2 Cos x Cos x dx + ……………….
+ an Cos x Cos xdx + ………………….
+ b1 Sin x Cos x dx
+ b2 Sin x Cos x dx + ……………….
+ bn Sin x Cos x dx + ………………..
an . L an f (x) Cos x dx
برای به دست آوردن رابطه شماره 4 طرفین را به x Sin ضرب می کنیم و انتگرال می گیریم .
f (x) Sin x dx = Sin x dx + a1 Cos x Sin x dx
+ a2 Cos x Sin x dx + ……………………
+ an Cos x Sin x dx + ……………………
+ b1 Sin x Sin x dx
+ b2 Sin x Sin x dx + …………………….
+ bn Sin x
f (x) =
دوره تناوب 2L = - (- ) = 2 L =
A0 = - dx + x dx = - = - (0 – (- ) ) +
a0 = -1 +
an = f (x) Cos x dx = -1 . ( Cos x ) dx + x Cos xdx
an = - Cos n x dx + x Cox nx dx
an = - Sin nx
= ( Cos n - 1 ) = =
an = n odd به ازای
bn = -1 Sin nx dx = x Sin nx dx
= Cos nx
= - Cos = +
f (x) =
نکته : بسط توابع زوج شامل جملات کسینوسی است .
Piecewise Continvovs fonction (p . c) تابع پیوسته قطعه ائی
تابع f(x) را در بازه باز یا بسته a و b پیوسته قطعه ائی گوئیم هرگاه بتوان بازه a و b را به زیر بازه های کوچکتری تقسیم یا افراز کرد به قسمی که :
الف : f(x) در هر کدام از زیر بازه ها پیوسته باشد .
ب : حدچپ و حدراست f(x) در هر یک از زیر بازه ها مقدار معین یا محدودی باشد یا به عبارتی مقدار حد موجود باشد
به عنوان مثال اگر تابع زیر را در نظر بگیریم :
1 : f(x) =
تابع فوق در هر یک از زیر بازه ها وجود دارد ولی وقتی حد آن به یک میل می کند حد چپ و راست با هم برابر نیستند پس ما نمی توانیم برای آن سری فوریه به دست آوریم .
f(x) = -2 2
نکته : تفاضل حد چپ و حد راست تابع در یک نقطه تابع می گویند
R . H . L -L . H . L = J
Sing le – Valued تابع تک ارزشی یا تک مقدار
تابع f (x) را تابع تک ارزشی گویند هرگاه به ازای هر m متعلق به دامنه تابع فقط یک مقدار به f(x) به دست آید اگر به ازای x چندین مقدار به f(x) به دست آید گفته می شود تابع چند ارزشی است .
( y2 = x )
قضیه :
- اگر f(x) یک تابع متناوب تک ارزشی و به طور قطعی پیوسته باشد آنگاه سری فوریه متناظر
بر نقاط پیوستگی به خود ( f(x) =
F(x) و در نقاط نا پیوستگی به میانگین حد چپ و راست تابع میل می کند .
نکته :به ازای یک نقطه, سری به نقطه ای میل می کند, به این همگرائی point wise می گوئیم یا به عبارتی می گوئیم سری به طور نقطه ائی همگرا است .
= 0 0
سری به طور میانگین همگرا است .
F(x)
F(x) = Sinnx
به ازای = x داریم :
= (2n +1) + Si
حال نقطه ای را در نظر می گیریم تابع در آنجا پیوسته نیست پس طبق قضیه دیر باید تابع به مقدار میانگین میل کند یعنی :
- 1 + 0
قضیه 1 :
اگر f (x) یک تابع متناوب با دوره تناوب 2L تک ارزشی و به طور قطعه ائی پیوسته باشد در صورتی که f(x) تابع زوج باشد (نمودار آن نسبت به محور قائم دارای تقارن است ) آنگاه سری فوریه متناظر این تابع فقط شامل جملات کسینوس خواهد بود ضرائب از روابط زیر به دست می آیند .
f(x) =
bn = 0
an = n = 0 , 1 , 2 , …..
چون این سری شامل جملات کسینوسی است معروف به سری فوریه کسینوسی است
(Fooriers Cosine Series) چون از تابع در نصف دوره تناوب انتگرال می گیریم به سری فوریه نیمه دامنه کسینوسی نیز می گویند . (Holf – range Expansion )
قضیه 2 :
اگر f(x) یک تابع متناوب با دوره تناوب 2L, تک ارزشی و به پیوسته و فرد باشد أنگاه سریر فوریه متناظر این تابع فقط شامل جملات سینوس خواهد بود روابط اولر فوریه به صورت زیر در می آید
F(x) =
Bn = 0
Bn =
چون این سری شامل جملات سینوسی است معروف به سری فوریه سینوسی است چون از تابع در نصف دوره تناوب انتگرال می گیریم به سری فوریه نیمه دامنه سینوسی نیز معروف است .
ما می توانیم برای تابع هر نوع سری فوریه بنویسیم که عبارتند از سری فوریه, سری سینوسی فوریه, سری کسینوس فوریه مثال :
F(x) =
2L =
a0 = x dx + 0 dx = . =
an = x Cos x dx = x Cos 2nx dx
=
=
bn = n Sin 2n x dx =
= -
سری فوریه تابع علارت است از :
f(x) = Sin 2nx
حال برای این تابع سری کسینوسی و سری سینوسی می نویسیم در سری کسینوسی از جملات سینوسی وجود ندارد و در سری سینوسی جملات کسینوسی وجود ندارد . برای نوشتن فوریه تابع را نسبت به مختصات قرینه اش را پیدا می کنیم .
F(x) =
2L = 2 L =
دوره تناوب بردار 2 است , برای تابع فرد فقط ضریب bn داریم :
F(x) f(-x) = -f(x)
A0 = 0
Bn = f(x) Sin ndx = ( x Sin nxdx + 0 Sin nx dx )
= (- Cos nx + Sin nx ) =
Cos =
Sin =
F(x) = Sin nx
برای نوشتن سری کسینوسی قرینه تابع را نسبت به محور قائم به دست می آوریم .
باز دوره تناوب برابر 2 است .
F(x) = an = f(x) Cos xdx
an= x Cos nx dx = =
a0 = xdx = x2 =
f(x) =
مثال : برای تابع فوق سری فوریه و سری سینوسی فوریه و سری کسینوسی فوریه را بنویسید :
F(x) =
2L = 2 L =
a0 = f(x) dx = ( (x + ) dx + dx)
= ( + x + x ) = +1
an = f(x) Cos xdx = ( (x+ ) Cosnxdx + Cos nxdx )
(x+ ) Cos nx
+
1 Sin nx an= ( Sinnx+ Cosx + Sinnx )
0 - Cos nx an = ( - Cos ) = (1- Cos n )
an =
bn = f(x) Sin xdx = ( (x+ ) Sin nxdx + Sinnxdx )
( x+ ) Sin nx
+
1 - Cos nx bn= (- Cos x + Sinnx - Cosnx )
0 - Sin nx bn= (- . 1+ 0 - Cos + )
bn = - - (Cos n - 1 ) = - ( + (-1)n –1 ))
f(x) = + Cos nx - ( + ((-1)n –1)) Sin nx
یا Cos (2n –1) x
برای نوشتن سری سینوسی فوریه تابع را نسبت به محور مختصات قرینه اش را پیدا می کنیم.
2L = 4 L = 2
bn = Sin xdx +
برای نوشتن سری کسینوسی فوریه تابع را نسبت به محور قائم قرینه اش را پیدا می کنیم .
شکل های دیگر سری فوریه :
الف : شکل تابع مرکب یا هارمونیک n ام
F(x) = + (an Cos x + bn Sin x)
=
می دانیم که سینوس و کسینوس بر هم عمودند پس فرائب آنها نیز بر هن عمودند پس
= Cos و = Cos برای سینوس
نیز این دو رابطه برقرار است به و زاویه های فاز می گویند
اگر مقدار مثبت باشد تقدم فاز و اگر مقدار منفی
باشد تاخیر فاز است.
F(x) = +
= + Cos ( x - ) = + Sin ( x + )
An = دامنه مرکب یا هارمونیک
A0 =
اگر این سری را بر حسب ترکیب موجها بنویسیم :
F(x) = A0 + An Cos ( x - ) = A0 + An Sin ( x + )
اگر زاویه مقدار مثبت باشد با توجه به رابطه بالا به ازای 0 = x , Cos داریم, یعنی این موج ترکیبی دیرتر از موج ترکیبی دیگر موج ها به نقطه مورد نظر می رسد در این حالت می گوئیم این موج تاخیر فاز دارد .
ب : شکل مختلط یا نمائی سری فوریه
F(x) = + ( an Cos x + bn Sin x)
برای سینوس و کسینوس از فرمول اویلر استفاده می کنیم
= Cos iSin
f(x) = +
= +
= +
f(x) = +
f(x) = c0 + (cn + (e-n
f(x) = en
cn = c-n =
cn = =
=
cx=
cn + c-n = an
c-n – cn = -ibn
en . c-n =
مثال: برای این تابع سری فوریه و شکل مرکب سری فوریه و شکل مختلط سری فوریه را بنویسید
F(x) =
2L = 2 L=
a0=
bn= -
f(x)=
f(x)=
f(x)=
s1(x)= s2=
s3(x)= sN=
اگر جملات به بی نهایت میل کند قسمت پرشها نیز به صفر میل می نماید این پدیده بنام پدیده کنبر معروف است.
A0=
AN=
امn دامنه هارمونیک:f(x)=
F(x)=
Cn=
c-n=
f(x)= این یک جمله حقیقی است مختلط نیست
f(x) =
مثال : شکل نمائی یا مختلط سری فوریه را پیدا کنید :
2L =6 L = -3
Cn=
Cn=
cn=
cn=
cn = - (
cn =
= -
cn=
f(x) =
کاربرد سری فوریه در حل معاملات دیفرانسیل معمولی
F(x) = تابع متناوب ay”+by’+cy= f(x)
ما میخواهیم پاسخ مستقیم را به محرکهایی چون یا را بدست می آوریم
ابتدا یرس فوریه تابع f(x) را مینویسیم با توجه به سری بدست آمده جواب خصوصی معادله دیفرانسیل داده شده را در نظر گرفته و با استفاده از روش ضرائب نامعین ضرائب جواب خصوصی را تعیین میکنیم .
جواب عمومی مسئله حاصل جمع جواب خصوصی و جواب قسمت همگن است تعیین ثابتهای انتگرال گیری با استفاده از شرائط مرزی یا اولیه داده شده یا جواب عمومی بدست می آید .
Y”+9y=f(x) f(x)= cos hx -3
Y(0) =0 y’(0)=2
2L=6
a0=
an =
an =
an =
an =
an =
an =(-1)n = (
an =(-1)n = (
f(x) =
y = y = sin h3 + cos x
yc (x) = c1 sin 3x + c2 cos 3x yP1 (x) = A= sin h3
yP2 (x) = A1cos x + A2 sin x
- A1 cos x - A2 sin x + 9A1cos x +9A2sin x
= cos x
A2 = 0 , A1 = A1 =
به ازای هر n یک A1 داریم .
YP2n(x) = cos x
YP (x) = c1 sin 3x + c2 cos 3x + sin h3 + cos x
Y(0) = 0 c2 + sin h3 + cos x
c2 = - sin h3 - cos x
f(x) =
an = k cos x dx = sin x
an = sin
an=
چون بین اعداد 1 و 2 عدد طبیعی وجود ندارد پس نمودار بصورت گستر در می آید
برای اینکه بهنگام انتگرال گیری دچار اشتباه نشویم که نسبت به کدام x انتگرال گرفته و نسبت به کدام حاصل جمع بدست آورده ایم در یکی x را به x’ تبدیل میکنیم
F(x) =
Cn=
F(x)=
میدانیم که cosx و sin x موج هستند پس eموج اولیه است اگر x را زمان در نظر بگیریم آنگاه برابر فرکانس خواهد بود که اختلاف در فرکانس برابر است با:
تفاضل دو تا فرکانس طبیعی Wn در این حالت پیوسته نیست مقادیر گسسته دارد.
از رابطه 1 داریم :
F(x) =
L Δw dx 0
اگر n از حالت طبیعی خارج شود و تبدیل به عدد حقیقی شود میتوان بین دو عدد حقیقی مثلاً بین 1 و 2 بی نهایت عدد در نظر گرفت, که در این حالت نمودار پیوسته می باشد .
F(x) = = f(w) e iwxdw
Figure 1
F(w) = f(x) e-iwxdx
شرط وجود f(w) این است که تابع f(x) به طور مطلق انتگرال پذیر باشد .
تابع f(x) را به طور مطلق انتگرال پذیر گویند هرگاه رابطه زیر برقرار باشد :
|f(x) | dx <
در این صورت گوئیم تابع f(x) به طور مطلق پذیر است .
از دو رابطه I و میتوان نتیجه گرفت :
زوج تبدیل فوریه :
F(x) = f(x) e-iw(x-x)dx dw
F(w) = f(x) e-iwx dx
F(x) = f(x) eiwx dw
مثال : تبدیل فوریه نمایی تابع زیر را به دست آورید .
F(x) =
F(w) = f(x) e-iwx dx
= e4n e-iwx dx + e-4n e-iwx dx
= +
= -
= تبدیل نمائی فوری تابع
حال تبدیل فوریه وارون نمائی را به دست می آوریم :
F(x) = f(w) eiwx dw
=
به ازای 0 = x داریم :
= Arc tog ( )
f(x) =
f(w) =
=
F(w)=
=
=
=
تبدیل فوریه تابع f(x)
تبدیل وارون تابع به صورت زیر بدست می آید:
F(x)=
به رابطه بالا نمایش نمایی انتگرال تابع f(x) می گویند
به ازای x=0 داریم :
به ازای =x داریم:
به ازای x=1 داریم:
چون تابع در نقطه x=1 پیوسته نیست پس مقدار f(x) برابر مینگین حد چپ و حد راست است یعنی
چون تابع حقیقی را رسم مسکنیم پس باید قسمت موهومی صفر باشد پس با توجه به رابطه اویلر میتوان نوشت:
f(x)=e α>0 , x>0
چون تابع e-αx2
f(w)=
αx2=A2 A= iwx=2AB B=
f(x) = = dx
= dx = dx
x + = u , dx = du
f(x) = =
f(w) = = -
f(x) = f(x) dx dw
= dx dw
= f(x) cos (x - x) dx dw + f(x) sin w (x - x) dx dw
چون تابع حقیقی است پس قسمت موهومی برابر صفر می شود یا به عبارتی می توان گفت چون تابع sin تابع فرد است پس حاصل جمع آن صفر است .
F(x) = f(x) cos w (x -x) dx dw
به تابع فوق نماشی انتگرال کسینوس فوریه f(x) می گوئیم .
F(x) = f(x) cos w x cos wx dx dw
+ f(x) sin wn sin wx dx dw
= [ f(x) cos w x cos wx dx dw + f(x) cos wx cos wx dx ] dw
+ sin wx dw
f(x) = f(- x) تابع زوجf
(- , 0) x = -t dx = -dt
x - , t
x = 0 t = 0
f(x) = cos wx dw
+ sin wx dw
f(x) = cos wx dw
+ sin wx dw
f(x) = cos wx dw
=
به fc(w) تبدیل کسینوسی فوریه می گوئیم .
تبدیل کسینوس فوریه
Fc(w) =
وارون تبدیل کسینوس فوریه
F(x) =
به هر دو رابطه بالا زوج تبدیل کسینوسی فوریه می گوئیم .
تبدیل سینوس فوریه
Fs(w) =
وارون تبدیل سینوسی فوریه
F(x) =
مثال :
F(x) =
Fs(w) = sin wx dx
Fs(w) =
=
x3 sin wx
3x2 - cos wx
6x - sin wx
6 - cos wx
0 - sin wx
تبدیل سینوس فوریه :
Fs(w) =
تبدیل وارون سینوسی فوریه را به صورت زیر محاسبه می کنیم :
X3 =
مثال فوق را در نظر بگیریم :
F(x) =
Fc(w) = cos wx dx = =
چون تابع زوج است پس تبدیل کسینوسی آن نیز یک تابع زوج است .
1 = cos wx dw dw
تابع انتگرال سینوسی :
Sin (x) = du
تبدیا فوریه نمائی
Fe(w) = f(x) e-iwx dx
حال تبذیل فوریه نمائی را می گیریم به شرطی که f(x) و مشتقات آن در بازه ( + و -) به سمت صفر میل کند .
-ix f(x) e-iwx dx = -I
اگر n بار مشتق بگیریم تبدیل نمائی برابر خواهد شد .
Fe [xn f(x)] = (-i)n
مثال مطلوب است تبدیل کسینوسی = f(x)
Fc(w) = cos wx dx
اگر از طرفین رابطه بالا نسبت به w مشتق بگیریم :
-x sin wx dx
با این عمل مشتق دیفرانسیلی را در مقابلش ظاهر نموده ایم .
از طرفین رابطه بالا انتگرال می گیریم .
wdw Ln fc(w)
به ازای w=0
αx2 =u2 2αxdx=2udu dx=
fe(0) = = du = =
به این نوع انتگرال ها انتگرال Leader می گویند .
سری فوریه دوگانه :
2L1 دوره تناوب آن در راستای x و 2L2 دوره تناوب در راستای Y باشد .
F(x,y) 2L1 :x 2L2 : y
با ثابت در نظر گرفتن y داریم :
F(x,y) =
با توجه به رابطه بالا برای ضرائب داریم :
a0 (y) = f(x,y) dx
an (y) = f(x,y)cos x dx
bn (y) = f(x,y) sin x dx
a0 (y) = +
a00 = a0(y) dy = f(x,y) dx dy
a0m = a0(y) cos y dy = f(x,y) cos y dx dy
b0m = f(x,y) sin y dx dy
an(y) = + (an m cos y + bn m sin y)
an0 = f(x,y) cos x dx dy
anm = f(x,y) cos x cos y dx dy
bnm= f(x ,y) cos x sin y dx dy
bn(y) = (cn m cos y + dn msin y)
bn0 = f(x,y) sin x dx dy
cn m = f(x,y) sin x cos y dx dy
dn m = f(x,y) sin sin y dx dy
نا مساوی و اتحاد پارسوال
فرض می کنیم تابع f(x) تابعه ای است که در قضیه دیریکله صدق می کند و یک تابع همگرا است .
F(x) = +
Sn(x) = + I
مقدار N را باید طوری در نظر بگیریم که بتوانیم Sn(x) را با f(x)تقریب بزنیم یعنی سری فوریه به دست آمده را با تابع f(x) تقریب بزنیم مقدار اختلاف بین تابع f(x) و Sn(x) را خطا می گوئیم و با R نشان می دهیم .
R = f(x) – Sn(x)
[f(x) – Sn(x)] dx 0
f2(x) dx –2 Sn(x)f(x) dx + S2n(x) dx 0
f2(x) dx 2 Sn(x) f(x) dx - S2n(x) dx 1
اگر طرفین رابطه I را به Sn ضرب کنیم و انتگرال بگیریم داریم :
S2n (x) dx = Sn dx +an Sn
La n Lbn
S2n (x) = . La0 + L + L 2
از روابط 1 و 2 میتوان نتیجه گرفت :
f2(x) dx 2( ) -
f2(x) dx + ( )
چون سری های مورد نظر همگرا هستند حد جمله عمومی آنها وقتی که n به سمت بی نهایت میل می کند برابر صفر است .
معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی
PDE(Pantial Diff esontial)
با مطالعه پدیده های فیزیکی و قوانین فیزیکی مربوط به علائم ریاضی به یک معادله ریاضی می رسیم .
L (u) = f
معادله دیفرینسیل حاکم بر ارتعاش یک نخ کشان یا ارتقاش پذیر
نخی به طول L در نظر می گیریم که در ابتدا بین نقاط 0 = x و x = L به طور کاملاً راست کشیده شده است این نخ را از حالت تعادل استاتیکی منحرف کرده و رها می سازیم هدف تعیین معادله دیفرانسیل حاکم بر حرکت و تغییر شکل نخ در هر نقطه و هر لحظه از زمان است .
برای اینکه معادله دیفرانسیل حاکم یک معادله دیفرانسیل خطی باشد
فرضهایی را برای ساده سازی قائل می شویم که به طور خلاصه عبارتند از :
الف : نخ کاملاً انعطاف پذیر است
ب : حرکت نخ در راستای عمود بر محور طولی نخ اتفاق می افتد .
ج : منحنی نخ و شیب خط مماس بر آن در مقایسه با طول نخ خیلی کوچک است .
تغییر مکان نخ در هر نقطه از مکان
نیروهای T1 و T2 نیروهایی هستند که در امتداد نخ ایجاد می شوند .
زوایایی که T1 و T2 با افق ایجاد می کنند را و می گوئیم .
جرم واحد طول ( m / kg ) P , f نیروی وارد به واحد طول نخ
با توجه به تابع می توانیم بگوئیم نیرو بستگی دارد به محل یا ( f(x,t,u,
مکان تاثیر نیرو و در چه زمانی و تغییر مکان نخ و سرعت تغییرات مکان نخ .
حال قانون دوم نیوتن را برای این حرکت در نظر می گیریم .
= ma = ma H = 0 = maV
طبق فرض دوم در راستای افق تغییرات نداریم پس :
T2 cos β - T1 cos α = 0
T2 cos β = T1 cos α = T
= ma V
T2 sin β + f s – T1 sin α = m m = p s
طرفین رابطه بالا را به s تقسیم می کنیم :
طرفین رابطه بالا را به T تقسیم می کنیم :
اگر از طرفین رابطه فوق حد بگیریم وقتی داریم :
به معادله فوق معادله یک بعدی موج و غیر همگن می گویند .
اگر T >> f باشد آنگاه به صفر میل می کند آنگاه معادله به صورت زیر تبدیل می شود :
پس c سرعت موج می باشد .
I . e B . C
به می گوئیم ولی چون با شرایط اولیه نیز همراه است .
I . B . V . P نیز می گوئیم .
روش جداسازی متغیرها ( Sepantion of rariables) یا روش حاصل ضربی یا روش فوریه
شرط استفاده از این روش معادله دیفرانسیل به علاوه شرایط مرزی آن باید خطی و همگن باشند (اگر ضرائب مشتقات و خود تابع مقادیر ثابت یا توابعه ای از متغیرهای دیفرانسیل باشد معادلع دیفرانسیل را خطی می گوئیم ولی اگر طرف دوم صفر باشد معادله دیفرانسیل همگن است )
U(x,t) = f(x) G(t)
فقط تابع t فقط تابع x
علامت را با توجه به شرایط داده شده مسئله تعیین می کنیم .
Figure 2
الف :
اولین حالت 0 < را در نظر می گیریم .
I ) f(x) = c1 + c2
) G (t) = A1 + A2
u(x,t) = (c1 + c2 ) (A1 +A2 )
با توجه به شرایط مرزی مسئله که داریم : u(L,t) = 0 و u(0,t) = 0 :
I ) 0 = (c1 + c2) (A1 + A2
Figure 3
) 0 = (c1 + c2 )
مخالف صفر
=
x = 0 را جواب بدیهی مسئله می گوئیم .
Y = 0 و u = 0 جواب هر معادله دیفرانسیل همگن است و چون حل نمی کنیم به همین علت می گوئیم بدیهی است .
ب :
برای حالت = 0 داریم :
F(x) = A1 x + A2 G(t) = B1t + B2
U (x,t) = (A1 x + A2 ) (B1t + B2 )
با توجه به شرایط مرزی داریم :
U(0,t) = 0 (A1x0 + A2) (B1t + B2) = 0 A2 = 0
U( , t) = 0 (A1 B1 + B2) = 0 A1 = 0
ج :
برای حالت 0 > داریم :
F(x) = A1 sin x + A2 cos x
G(t) = B1 sin c t + B2 cos c t
U(x,t) = (A1 sin x + A2 cos x ) (B1 sin c t + B2 cos c t)
U(0,t) = 0 (A1 . 0 +A2 . 1) (B1 sin c t + B2 cos c t) = 0 A2 = 0
U( , t) = 0 A1 sin (B1 sin c t + B2 cos c t ) = 0
Sin = sin n = = ( )2
چون به ازای هر n یک داریم پس با نشان می دهیم .
مقادیر خاصی از که موجب صفر شدن sin می شوند مقدار ویژه می گویند .
به تابع x تابع ویژه می گوئیم چون به ازای خاصی از مقادیر x صفر می شود .
un (x,t) = sin x (c1 sin t + c2 cos t)
u(x,t) = un (x,t) = sin x (c1n sin t + c2n cos t)
u(x.0) = f(x) = c2n sin x
c2n = f(x) sin x dx
(x,0) = g(x)
= . Sin x (c1 n cos t – c2 n sin t )
g(x) = c1 n sin x
bn
c1n . = g(x) sin x dx c1n = g(x) sin x dx
فر کانس
طیف سیگنال
به ازای n = 1 فرکانس را فرکانس اصلی و به بقیه آنها over tone می گویند .
به عنوان مثال اگر f(x) را به صورت a(L -x) در نظر بگیریم .
F(x) = x(L - x) 0<x<L
g(x) = 0
u(x,t) = e2 n sin x . cos t
c2 n = (Lx – x2) sin x dx
= ( )
=
u(x,t) =
ویژگیهای مهم توابع ویژه و مقادیر ویژه .
1 : تمامی مقادیر ویژه حقیقی هستند .
2 : کوچکترین کمیت مقدار ویژه موجود است ولی بزرگترین کمیت آن تعریف نمی شود چون n به سمت بی نهایت میل می کند .
=( )2 n = 1,2,3………..
1, 2 , 3 ,…………… n
3 : مجموعه ها یک مجموعه کامل را تشکیل می دهد (یعنی ما نمی توانیم یک عضو دیگر به آن اضافه کنیم مانن مجموعه اعداد فرد کمتر از )
در این مثال تابع ویژه به دست آمده x sinبه جز نقاط انتهائی
دارای n - 1 تا صفر است . این صفرها همان گره ها هستند . وقتی
n به سمت بی نهایت میل کند این گره ها به هم نزدیک شده و به
نوسان تبدیل می شوند .
U(x, t) =
Sin
با جا گذاری در رابطه بالا داریم :
U(x,t) =
Fn(x) =
U(x,t) =
F(x - ct) همان تابع f(x) است که با سرعت ct به سمت راست و هم چنین f(x + ct) همان تابع f(x) است که با سرعت ct به سمت چپ حرکت می کند .
پس مقدار این موج میانگین دو تا موج است که در دو جهت خلاف هم حرکت می کنند . اگر این موج ها همدیگر را تقویت کنند شکم را به ما می دهد و اگر همدیگر را تضعیف کنند گره را تشکیل می دهد .
حل دالامبر برای معادله موج : با توجه به مطالب به دست آمده از حل مثال قبل می توان گفت که متغیرهای x + ct و x - ct در معادله موج صدق می کند با استفاده از روش مشتق گیری زنجیری u نسبت x و t را به متغیرهای جدیئ منتقل می کنیم , نتیجه محاسبات به صورت زیر است :
C2 = 1
W= x = ct V = x – ct
=
= ( + ) + ( + )
= + +
= + = c - c
= (c - c )
= c (c - c ) – c ( c - c )
= c2 - 2x 2 + c2
از رابطه 1 می توان نتیجه گرفت :
c2 = 2c2 + c2 = c2 + c2
4c2 = 0 = 0 الف
انتگرال گیری از رابطه بالا ساده تر است .
اگر از رابطه الف نسبت به w انتگرال بگیریم داریم :
= k1 = h (v)
u = (v) dv + G(w) = f(v) + G (w) = f(x - ct) + G (X + CT)
x + ct و x - ct منحنی های مشخصه معادله موج می گویند .
U(x ,t) = f(x - ct) + G(x + ct)
C2 = -
U(x ,0) = f(x) (x, b) = g(x) f(x) = f(x) + G(x) I
Figure 4
G(x) = -cf’ (x) + c G’(x) G’ (x) – f’(x) = g(x)
G(x) – f(x) – (G(x0) – f(x0)) = g(s) ds
G(x) – f(x) = k + g(s) ds
با جمع روابط I و داریم :
G(x) = + + g(s) ds
F(x) = f(x) - - - g(s) ds
F(x- ct) = - - g(s) ds
G(x + ct) = + + g(s)
U = + g(s) ds با جمع دو رابطه بالا
عبارت 1 نشان دهنده تغییرات مکان اولیه است و عبارت 2 تغییرات سرعت اولیه را نشان می دهد .
T مقدار کشش بر واحد طول (در فضای دو بعدی)
جرم واحد سطح را تعریف می کنیم که واحدش
است و تغییر مکان را با u نمایش می دهیم .
= 0 = 0 = ma
= 0 T1 y cos α = T2 y cos β
= 0 T4 x cos = T3 x cos
-T3 x sin + T4 x sin - T2 y sin α + f x y = x y
c2 ( + ) = c =
c2 u =
= + u(x ,y ,t) = ?
1 : u(x,0,t) = 0 2 : u(x , b, t) = 0
3 : u(a ,y,t) = 0 4 : u(0 , y, t) = 0
u(x,y,o) = f(x ,y)
(x, y, 0) = g(x , y)
کل معادله با شرایط مرزی همگن است یعنی استفاده از جداسازی مجاز است .
U(x ,y ,t) = f(x) G(y) H(t)
= GH = FH = FG
c2 (GH + FH = =
این رابطه یک مقدار ثابت است که فرض می کنیم :
علامت ثابت جداسازی ( ) در معادله موج را طوری انتخاب می کنیم که موجهای معادله دیفرانسیل معمولی با متغیر مستقل t یک تابعه متناوب باشد .
< 0 , = -β2
H(t) = A1 sin β ct + A2 cos β ct
+ = - β2 = - - β2 = = 0
G = 0
چون u در راستای x نکرار می شود نتیجه می گیریم که u یک تابع متناوب از x است علامت را طوری انتخاب می کنیم که جواب معادله دیفرانسیل مربوط x یک تابع متناوب باشد با توجه به معادله دیفرانسیل علامت منفی می شود یا به عبارتی - باید کمیتی مثبت باشد .
= - - =
f” + f = 0
f(x) = B1 sin + B2 cos
- (β2 - ) G =0
با توجه به نمودار 1 متوجه می شویم که تابع u در مرز 1 ثابت است و در مرز 3 ثابت است پس می بینیم تابع u خود را در محور y تکرار می کند پس باید مقدار ( - β2 ) را باید طوری انتخاب کنیم که معادله دیفرانسیل G = 0 ( -β2 ) - یک تابع متناوب سینوسی یا کسینوسی باشد شرایط این است که ضریب G مثبت باشد یعنی :
G(y) = D1 sin ky + D2 cos ky
U(x,y,t) = (B1sin x + B2 cos x) (D1sin ky + D2 cos ky )
( A1 sin ct + A2 cos β ct)
اگر شرط مرزی شماره 4 را اجرا کنیم :
U(0,y,t) = 0 β2 = 0
Β1 sin x (D1 sin ky + D2 cos ky ) ( A1 sin β ct +A2 cos β ct)
D*1 = B1 D1 D*2 = B1 D2
Sin x (D*1 sin ky + D*2 cos ky )( A1 sin β ct +A2 cos β ct)
اگر شرط مرزی شماره 2 را اجرا کنیم :
U(a,y,t) = 0 sin α = 0
Sin α = sin m m = m = 1,2,3,……..
F(x) = sin x
اگر شرط مرزی شماره 1 را اجرا کنیم .
U(x,0,t) = 0 D*2 = 0
U = sin x sin ky (A*1 sin βct + A*2 cos β ct )
اگر شرط مرزی شماره 3 را اجرا کنیم :
U(x,b,t) = 0 sin kb = 0 = sin n
K2 = ( )2 – β2 kmn = n = 1, 2, 3, ……….
G(y) = sin y
U(x,y,t) = sin x sin y (Am n sin cβm n t + Bm n cos βm n t)
U(x,y,o) = f(x,y) = Bm n sin x sin y
Bm n = f(x,y) sin x sin y dx dy
Am n = y(x,y) sin x sin y dx dy
معادلات تلگراف و تلفن
سیم عایقی کامل ندارد ومقداری نشتی دارد که با نمایش میدهیم
که مدار معادل این سیستم به صورت مقابل است.
cمقدار ظرفین در واحد طول سیم وG نیز مقدار نشتی در واحد طول سیم است .( c خازن تشکیل شده بین زمین ومدار است
اگر فرمول تیلر را در نظر بگیریم
چون مقدار کوچک است بنابراین با گرفتن مشتق اول و مشتق دوم و…. این مقادیر کم میشوند
پس میتوان از آنها صرفنظر نمود
طبق قانون شدت جریان
جریان نشتی از عایق سیم، جریان ذخیره شده در خازن متشکل از سیم و زمین
اگر از رابطه یک بار دیگر نسبت به مشتق بگیریم:
با جاگذاری از رابطهI داریم:
الف
به معادله بالا تغییرات شدت جریان را نشان میدهد.
اگر از رابطه یکبار نسبت به مشتق بگیریم.
ب
بهمعادلات بالا الف و ب معدلات تلفن می گویند.
اگر نشتی کم باشد و بتوان از اثرات خوالقایی صرفنظرکنیم به علت کم بودن دراین حالت معادلات تلفن به صورت زیر درمیآید:
به معادلات فوق ،معادله تلگراف می گویند.
از آنجائی که متوجه میشویم این
معادلات،معادله موج هستند
اگر در سیستم مقاومت ونشتی نداشته باشیم آنگاه معادلات به صورت زیر نوشته میشود.
اگر نسبت در ا ین حالت مداررامداربدون اعوجاج گویند.
اگر درسیستمی چنین حالت را داشته باشیم میگوئیم سیستم بدون اعوجاج میباشد.
معادلات بالا به معادلات گرما میباشند.
معادلةگرما(Heat Cqn)
در روش انتقال گرما با سه روش کلاسیک روبرو هستیم
1 رسانائی (هدایت)coundoction
2 همرفت(جابهجائی)Convechtion
3 تابش (تشعشع)Radiation
روش بدست آوردن گرما در اجسام جامد
گرما خود قابل اندازه گیری نیست بلکه، سیمی راکه اندازه میگیریم دما است
دما
u گرما
گرما، صورت انرژی است که به خاطروجوداختلاف دما بین دو نقطهبین آنها ظاهری میشود
اختلاف معادل ریاضی آن گردادیان است.
فرض کنیم مقدار گرمای منتقل شده در زمان واحد باشد. بنابراین واحد آن ژول بر ثاینه یا وات میشود.
مقدار گرمای منتقل شده از یک واحد به واحد دیگر مربوط به جنس ماده ا نتقال دهنده ربط دارد وکمیتی که میتواند درانتقال گرما دخیل باشد طول یک جسم هر سه طول بیشتر باشد انتقال گرما کمتر میشود.
کمیت دیگر اختلاف دما است(گرادیان دما ) و دیگری سطح مقطع جسم است هر چه سطح مقطع زیادتر باشد انتقال گرما بیشتر است. Q
جنس ماده عکس طول گرادیان دما سطح مقطع
K A
اگر برای کمیتها بتوان علامتهای مناسبی انتخاب کرد کمیتQ به جای متناسب بودن برابر میشود. علامت منفی به خاطراین است که خودش منفی است.
به رابطه فوق قانون فوریه میگویند چون اثباتی ندارد
و از حالت تجربه برات آمده است.
مقدارK برای مهندسی از تا قابل تغییرات.
qرا شارگرمایی میگویند.
اشکال عمدةاین رابطه این است که مادر هرسیمی که درمهندسی بحث میکنیم یک دستگاه مختصات دارد ولی در این جا حرفی از دستگاه مختصات نشده است. چون این هم مقدار جهت و هم مقدار عددی است پس شار گرمایی یک کمیت برداری است.
نوشته شده مستقل از دستگاه مختصات انتخابی است.
فرض کنیم یک جسمیداریم بهحجم V و سطح مرزی A:
قانون بقاء را برای این سیستم می نویسیم
انرژی گرمایی تولید شده + انرژی گرمایی خروجی- انرژی گرمایی و ورودی= تغییرات انرژی گرمایی دردرون حجمV آهنگ خالص یا کل انرژی دریافتی برابر است خروجی منهای ورودی
مقدار انرژی دریافتی کل گرمایی است که سطحمرز وارد سطح میشود.
علامت منفی بیانگر این است که Q,N هم جهت نیستند
qنشانگر آهنگ تولید انرژی در واحد حجم بر حسب
cp گرمایی ویژه است انرژی لازم برای ازدیاد دمای واحد جرمیک
چون بر حسب واحدجرم گفتهایم
واحد اندازه گیری دما
میدانیم که برابر است با که همان قضیه واگرایی است.
معادلة نفوذ یا معادله بخش یا معادلة فوریه
اگر طرف ثانی مستقل از زمان باشد داریم
که این معادله لاپلاس یا معادله پتانسیل است.
در یک مقدار g داشته باشد معادلةپواسون بدست میآید
مثال :
مقدار ثابت را درنظرمیگیریم
تابعt تابعx
پس میتوان نوشت:
وقتیx به سمت بی نهایت میل کند e(x,t) باید به یک مقدار محدود میل نماید و پس:
اگر در رابطه به جای x ، صفر را قرار دهیم داریم:
ضریب نمیتواند صفر شود . مقدار نیز مخالف صفر است پس برابر صفر میباشد میبینم فرض نمیتواند جواب مسئله راارضاء کند پس نمیتواند باشد.
فرض کنیم باشد
فرض کنیم باشد یعنی اختلاف پتانسیل مسیر ثابت باشددر این حالت داریم.
میتوانیم به جای wاز u استفاده کنیم چون یک متغیرمجازی است میتوان این عمل را انجام داد.
رابطه بالا تابع خطای گوس است که طبق زیر تعریف میشود
تابع خطای مکمل گوسی
کافی است بسط مکلورن را نوشته وازتک تک جملات انتگرال بگیریم جمله بالا بدست میآید.
حل معادله موج در دستگاه مختصات قطبی
:دکارتی
:استوانهایی
:کروی
در معادله موج در مختصات قطبی2 برابر صفر است پس میتوان نوشت:
برای حل معادله بالا نیاز به چهار تا شرط است.
تغییرمکان در مرکز نمیتواند بیشتر باشد
علامت طوری باید باشد که جواب معادله دیفرانسیل در زمان برSin x حسب وCsn بدست آید:
معادله دیفرانسیل بسل از مرتبه صفر
معادله دیفرانسیل بسل
معادلة دیفرانسیل بسل از مرتبة n با پارامتر
تابع بسل نوع اول از مرتبه صفر و تابع بسل نوع دوم از مرتبه صفر
تعریف تابع بسل
چون به سمت بی نهایت میل میکند از شرط کرنداربودن تابع نتیجه میگیریم که
ضریب را صفردرنظرمیگیریم
تغییر مکان در لبةبیرونی صفراستبه همینعلت u (a,t)=0 است.
تابع بسلدارای بینهایت صفراست اگر آن صفررابا نمایش دهیم . که صفرهای تابع بسل هستند.
مقدارویژه
مثال:نحوة توزیع دما در یک میله که دوانتهای آن درا در آب قرار میدهیم و میله نیز دارای حرارت میباشد بدست آورید.
فرض کنیم تابع u(x,t) به صورت مقابل باشد
حالدرمورد بحث میکنیم
الف
مخالف صفر استپسباید جمله برابر صفر باشد.
شرایط نیز یکی مسئله را ارضاء نکرد پس نیست
ب
پس برای نیز جواب بدیهی است
ج
فرض میکنیم باشد این راه را فقط برای سادگی در نظر میگیریم
(نوشتن ضریب فرضی ندارد مهم ضابطه تابع است)
اگر در نظر بگیریم باز بههمان جواب برای می رسیم ولی اگر در نظر بگیریمبرای بعضی مقادیرصفراست وبرایبعضیمقادیر غیر صفراست پس را مخالف صفردر نظرمیگیریم:
باقراردادن درمعادله بالا باید درتابع صدق کند
اگر فرض کنیم و در نظر بگیریم:
با توجه به معادله ریاضی بدستآمده باید 200 را به ما بدهد
میبینیم از
بیشتر بوده چون تنها یک جمله درا اختیار نمودهایم و این تقریب خوبی نیست.
در لحظه t=0 مشتق u بی نهایت میشود پس میبینیم تغییر ناگهانی داریم.
این خاصیت فقط شامل معادلات دما است به این جهت به این معادلات،معادلات صفا کننده یا هموار کننده گفته میشود (Smoothing qn)
حل معادلات پتانسیل:
حال معادله فوق را در دستگاه دکارتی بررسی میکنیم؛ فرض میکنیم صفحه رسانا داریم ولی رسانای مطلق نیست
دو سه ضلع را به یک اختلاف پتانسیل ولی میکنیم حال
توزیع اختلاف پتانسیل را می یابیم: اختلاف پتانسیل در این ضلع
این ضلع هیچ ارتباطی
با اختلاف پتانسیل ندارد
اختلاف پتانسیل در این ضلع صفر
:شرایط مندی
سه تا از شرایط مندی همگن استولی یکی،همگن نیست. چون معادله
دانلود مقاله ریاضیات مهندسی پیشرفته