مشخصات این فایل
عنوان: بررسی خصوصیات اصلی و رفتار فرآیندهای شاخه ای گالتون- واتسون
فرمت فایل: word( قابل ویرایش)
تعداد صفحات: 69
این مقاله درمورد بررسی خصوصیات اصلی و رفتار فرآیندهای شاخه ای گالتون- واتسون می باشد.
خلاصه آنچه در مقاله بررسی خصوصیات اصلی و رفتار فرآیندهای شاخه ای گالتون- واتسون می خوانید :
چکیده
هدف از این تحقیق بررسی خصوصیات اصلی و رفتار فرآیندهای شاخه ای گالتون- واتسون دو جنسی با تابع خانوادة زیر جمعی و احتمالات انقراض در چنین فرآیندهایی است.
مدلی از فرآیند شاخه ای دو جنسی مفروض است به طوری که توزیع زاد و ولد به اندازه جمعیت بستگی دارد. همچنین حالت خاص را در نظر می گیریم که در آن نرخ رشد جمعیت (میانگین توزیع زاد و ولد)، وقتی به میل می کند .
برای این نوع از فرآیندهای شاخه ای گالتون- واتسون دوجنسی شرط لازم برای همگرایی فرآیند در و ارائه می گردد.
همچنین شرط کافی برای همگرائی در به دست خواهد آمد.
فصل اول
فرآیندهای شاخه ای گالتون-واتسون استاندارد
مقدمه
هدف از این فصل ارائه مطالب کلی و مورد نیاز برای مطالعة فصل های بعدی می باشد در بخش اول برخی از تعاریف و قضایای مقدماتی را که بعداً به آنها نیاز خواهیم داشت بررسی می کنیم و در بخش دوم فرآیندهای شاخه ای گالتون-واتسون استاندارد و برخی خواص عمومی آن را مورد مطالعه قرار می دهیم.
1-1- مروری بر تعاریف و قضایای مقدماتی
تعریف 1-1-1: یک فرآیند تصادفی عبارتست از گرد آیه ای مانند از متغیرهای تصادفی ، که در یک فضای احتمال مشترک و با مقادیر در فضای حالت S تعریف می‌شوند. T زیر مجموعه‌ای از است و معمولاً به عنوان مجموعه پارامتر زمان تعبیر می‌شود .
هرگاه فرآیند را فرآیند با زمان پیوسته می نامند و هرگاه فرآیند را فرآیند با زمان گسسته نامند.
معمولاً اگر فرآیند را به صورت نمایش می دهند.
فرآیند مورد نظر ما در این رساله فرآیند با زمان گسسته است.
تعریف 1-1-2: فرض کنید فرآیند تصادفی با زمان گسسته و فضای حالت شمارای S باشد گوئیم این فرآیند یک زنجیر مارکوف است اگر به ازای هر و هر و y از حالتها، رابطة زیر برقرار باشد:
(1-1)
یعنی فقط اطلاع از حالت فرآیند در مرحلة n برای تعیین توزیع حالت فرآیند در مرحلة کفایت می کند و اطلاعات قبل از آن مؤثر نخواهد بود.
احتمال شرطی را احتمال انتقال یک مرحله ای از x در مرحله n ام به y در مرحله ام می نامیم. احتمالات انتقال را با نشان می‌دهیم بنابراین:
ماتریس را که درایه های آن احتمالهای انتقال یک مرحله است ماتریس احتمال انتقال یک مرحله ای می‌نامیم.
سطر x ام این ماتریس احتمالهای انتقال از x به یکی از حالتهای زنجیر در یک مرحله است، اگر احتمالات انتقال یک مرحله ای از متغیر زمان مستقل باشد گوئیم فرآیند مارکوف دارای احتمالات انتقال مانا می باشد.
تعریف 1-1-3: فرض کنید دنباله ای از متغیرهای تصادفی تعریف شده بر فضای احتمال باشد. همچنین دنباله ای از میدانهای باشد که برای هر n داشته باشیم :
است اگر:
یک زیر مارتینگل نسبت به است اگر :
آ.به ازاء هر n.، روی اندازه پذیر باشد.
ب : به ازاء هر n ،
ج : به ازاء هر n ،
هر گاه یک زیر مارتینگل باشد ، آنگاه یک زیرمارتینگل است .
هر گاه و یک زیر مارتینگل باشند آنگاه یک مارتینگل نسبت به می باشد .
تعریف 1-1-4 : فرض می کنیم دنباله ای از متغیرهای تصادفی باشند ،دنباله همگرای a.s. به متغیر تصادفی X است اگر :
تعریف 1-1-5 : فرض کنیم دنباله ای از متغیرهای تصادفی باشد . گوئیم این دنباله در به متغیر تصادفی X همگراست هر گاه :
تعریف 1-1-6 : فرض می کنیم دنباله ای از متغیرهای تصادفی باشد دنبالة همگرا در احتمال به متغیر تصادفی X است . هر گاه بازاء هر
لم 1-1-1 : فرض کنید متغیرهای تصادفی در یک فضای احتمال باشند ، اگر وقتی همگرا در به X باشد ، آنگاه همگرا a.s. به X است .
لم 1-1-2 : فرض می کنیم دنباله ای از متغیرهای تصادفی باشد . اگر وقتی ، همگرایی a.s. به X باشد آنگاه همگرا در احتمال به X است .
لم 1-1-3 : (قضیة همگرائی مارتینگل ها) : آ : فرض کنید یک زیر مارتینگل صادق در :
باشد . در این صورت یک متغیر تصادفی متناهی مانند X وجود دارد که با احتمال یک به همگراست یعنی
(1-2)
لم 1-1-4 : (نامساوی جانسن) : آ : متغیر تصادفی X مفروض است . اگر g(x) تابعی مقعر باشد آنگاه :
ب : متغیر تصادفی X مفروض است . اگر g(x) تابعی محدب باشد آنگاه :
لم 1-1-5 : به فرض f انتگرالپذیر و نزولی بر باشد ، و در این صورت :
اگر و فقط اگر :
لم 1-1-6 : فرض کنید f تابع نزولی مثبت باشد . در این صورت برای هر و داریم :
لم 1-1-7 : فرض کنید f(x) یک تابع مثبت و نزولی بر باشد بطوریکه xf(x) صعودی باشد و . همچنین فرض کنید دنباله ای از اعداد مثبت باشد . اگر به ازاء یک و هر داشته باشیم .
آنگاه : آ : موجود است .
ب: ای که فقط به f و m بستگی دارد موجود است به طوریکه اگر آنگاه .
1-2- فرایندهای شاخه ای گالتون - واتسون استاندارد :
فرآیندهای شاخه ای گالتون - واتسون استاندارد را می توان به شکل زیر تشریح کرد : فرض می کنیم فرآیند در نسل آغازین (صفر ام) N عضو داشته باشد ، یعنی در نسل صفر پس از یک نسل هر فرد با احتمال ، k فرزند به وجود می آورد . یعنی که در آن تعداد فرزندان فرد ام است . عدة نسل اول خواهد بود . لذا تعداد فرزندان نسل آغازین و اندازة جمعیت در نسل اول خواهد بود . اگر آنها را 1 و 2و ... و بنامیم هر فرد به تعداد فرزند بوجود می آورد . پس عدة نسل دوم برابر است با و نسل ادامه می یابد . به طور کلی :
تعریف 1-2-1 : فرض کنیم موجود زنده ای در پایان عمرش تعداد تصادفی نوزاد با توزیع احتمال : ....(ادامه دارد)
بخشی از فهرست مطالب مقاله بررسی خصوصیات اصلی و رفتار فرآیندهای شاخه ای گالتون- واتسون
چکیده
مقدمه
فصل اول
فرآیندهای شاخه ای گالتون-واتسون استاندارد
1-1-مروری بر تعاریف و قضایای مقدماتی
1-2-فرآیندهای شاخه ای گالتون-واتسون استاندارد
فصل دوم
فرآیند های شاخه ای گالتون - واتسون دوجنسی (GWBP) تعاریف و خصوصیات اصلی
2-1- فرآیند های شاخه ای گالتون - واتسون دوجنسی (GWBP)
2-2 توابع خانوادة زیر جمعی
2-3 فرآیند شاخه‌ای زوجهای هم خانواده
فصل سوم
احتمالات انقراض
3-1- انقراض در فرآیند هایی که تابع خانوادة زیرجمعی دارند
3-2-معیارهای کلی انقراض
فصل چهارم
میزان هندسی رشد در فرآیند های شاخه ای
وابسته به حجم جامعه
4-1 زمانهای فرآیند و مارتینگل
فهرست منابع
دانلود مقاله بررسی خصوصیات اصلی و رفتار فرآیندهای شاخه ای گالتون- واتسون
