یک سری به شکل * که در آن و.... اعدادی ثابت هستند، یک سری توانی از x می نامند . معمولاً برای راحتی سری *به صورت می نویسد در حالت کلی تر سری توانی به صورت است .
اگر به جای x مقدار ثابت r در نظر بگیریم سری توانی به یک سری عددی تبدیل می شود و همگرایی آن از روشهای همگرایی سری های عددی استفاده می شود .
نکته : هرگاه سری توانی به ازاء x=r که همگرا باشد ، آنگاه به ازاء هر x که به طور مطلق همگرا است هرگاه سری به ازاءx=s واگرا باشد آنگاه به ازاء هر x که نیز واگرا است .
تعریف بازه همگرایی: مجموعه نقاطی که به از آنها سری همگرا باشد ، همواره یک بازه است که به آن بازه ، بازه همگرایی می گویند.
نکته: سری توانی یکی از سه رفتار زیر را دارد :
الف ) سری فقط به ازاءx=0 همگرا است در این صورت بازه همگرایی I بازة [0,0] است
ب ) سری به ازاء هر x همگرا است د راین صورت است
ج) سری به ازاء مقادیر ناصفری از x همگرا و به ازاء سایر مقادیر واگراست
در این صورت،I یک بازه متناهی به شکل (-R,R],[-R,R),[-R,R],(-R,R)که R>0 است و این بسته به رفتار سری در نقاط x=-R ,x=R است که باید جداگانه بررسی شود . بازه همگرایی I ممکن است شامل یک یا هر دو نقطه انتهای نباشد به عبارت دیگر سری ممکن است به ازاءx=R یاx=-R همگرا باشد یا نباشد .
شعاع همگرایی :عدد R در نکته فوق شعاع همگرایی سری توانی نام دارد .
مثال : بازه همگرایی و شعاع همگرایی سری های توانی زیر را به دست آورید .
(الف
حل : از آزمون نسبت [1] نتیجه می شود که سری فوق به ازاء x=0 همگرا است زیرا :
مگر آنکه x=0 لذا R=0,I=[0,0]
(ب
حل : آز آزمون ریشه نتیجه می شود که سری به ازاء هر x همگرا است زیرا :
(ج
حل : معلوم می شود که
دانلود مقاله سریهای توانی